Cách Xét Tính Liên Tục Của Hàm Số - Các Dạng Bài Tập Và Ví Dụ

1. Các dạng toán về xét tính liên tiếp của hàm số và cách thức giải

Phần kỹ năng và kiến thức về tính chất liên tiếp của hàm số là chủ thể vô cùng cần thiết nhập công tác toán 11 bậc trung học phổ thông. Bài tập luyện xét tính liên tiếp của hàm số xuất hiện tại thật nhiều trong những đề đánh giá, đề ganh đua trung học phổ thông Quốc gia trong những năm. Để ăn vững chắc điểm của dạng bài xích này, những em nằm trong VUIHOC điểm lại 6 dạng toán về xét tính liên tiếp của hàm số, kèm cặp cách thức và ví dụ giải cụ thể nhé!

1.1. Dạng 1: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên 1 điểm

Phương pháp giải cộng đồng của dạng xét tính liên tiếp của hàm số bên trên 1 điều như sau:

Cho hàm số hắn = f(x). Xét tính liên tiếp của hàm số hắn bên trên điểm x = x₀, học viên rất có thể triển khai bám theo 2 cơ hội sau đây:

Cách 1:

• Bước 1: Tính độ quý hiếm của hàm số hắn bên trên x₀ (Tính f(x₀))

• Bước 2: Tính độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)$

• Bước 3: Nếu $\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=f(x_{0})$ thì tao được hàm số f(x) liên tiếp bên trên điểm x₀.

Cách 2: 

• Bước 1: Tính độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)$

• Bước 2: Tính độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x)$

• Bước 3: Nếu độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x)=f(x_{0})$ thì tao sở hữu hàm số f(x) liên tiếp bên trên điểm x₀.

Ví dụ minh họa dạng 1:

Ví dụ 1: Xét tính liên tiếp của hàm số $f(x)=\frac{x^{2}-4}{x+2}$ bên trên điểm x = -2

Giải:

Ta thấy f(-2) ko xác lập, cho nên vì vậy hàm số f(x) ko liên tiếp bên trên x = -2.

Ví dụ 2: 

a. Tìm $\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}f(x)$

b. Xét tính liên tiếp của f(x) bên trên x = 2 và x = -2

Giải:

a. Ta sở hữu $\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}\frac{3-\sqrt{x^{2}+5}}{x^{2}-4}=\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}\frac{9-x^{2}-5}{(x^{2}-4)(3+\sqrt{x^{2}+5})}=\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}\frac{-1}{3+\sqrt{x^{2}+5}}=-16$

b. Từ phần a, tao rất có thể suy đi ra $\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}f(x)=f(2)$. Như vậy, hàm số đang được mang đến liên tiếp bên trên điểm x = 2. trái lại, hàm số hắn = f(x) ko xác lập bên trên x = -2 nên hắn ko liên tiếp bên trên x = -2.

1.2. Dạng 2: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên một khoảng chừng, đoạn hoặc tập luyện xác định

Hàm số f(x) liên tiếp bên trên một quãng, khoảng chừng hoặc tập luyện xác lập nế như đó liên tiếp bên trên từng điểm bên trên đoạn, khoảng chừng hoặc tập luyện xác lập tê liệt.

Lưu ý:

• Hàm số f(x) liên tiếp bên trên đoạn [a;b] Khi hàm số tê liệt liên tiếp bên trên khoảng chừng (a;b) và vừa lòng điều kiện:

$\underset{x\rightarrow a^{+}}{lim}f(x)=f(a),\underset{x\rightarrow b^{-}}{lim}f(x)=f(b)$

• Hàm số nhiều thức thông thường sở hữu đặc điểm liên tiếp bên trên toàn cỗ tập luyện số thực R.

• Hàm số phân thức hữu tỉ, hàm con số giác liên tiếp bên trên từng khoảng chừng của tập luyện xác lập của bọn chúng.

Phương pháp xét tính liên tiếp của hàm số bên trên một khoảng chừng, đoạn hoặc tập luyện xác định:

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét tính liên tiếp bên trên R của hàm số sau:

$\left\{\begin{matrix}
\frac{x^{2}+5x}{x} và Khi \, x \neq 0\\ 
5 và Khi \, x=0
\end{matrix}\right.$

Giải: Ta thấy Khi $x\neq 0$, hàm số đề bài xích là hàm phân thức và trọn vẹn xác lập nên f(x) liên tiếp bên trên từng khoảng chừng $(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$.

Do vậy, tao cần thiết xét tính liên tiếp của hàm số bên trên điểm x = 0. Ta có:

• Giá trị của hàm số bên trên x = 0: f(0) = 5 

• Giới hạn của f(x) bên trên x = 0 là:

$\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}\frac{x^{2}+5x}{x}=\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}(x+5)=5$

Vì $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(0)$, cho nên vì vậy hàm số f(x) liên tiếp bên trên x = 0.

Kết luận: Hàm số đề bài xích liên tiếp bên trên tập luyện R.

Ví dụ 2: Xét tính liên tiếp của hàm số sau bên trên tập luyện xác định:

$f(x)\left\{\begin{matrix}
2x-1 và Khi \, x <  0\\ 
\sqrt{x} và Khi \, x\geq 0
\end{matrix}\right.$

Giải: Ta thấy tức thì, tập luyện xác lập của f(x) là R.

Trường thích hợp x < 0: $f(x) = 2x - 1$ là hàm số liên tiếp.

Trường thích hợp x > 0: $f(x) = \sqrt{x}$ là hàm số liên tiếp.

Từ tê liệt suy đi ra, tao chỉ việc xét thêm thắt tính liên tiếp của hàm số bên trên x = 0 là rất có thể Tóm lại.

Tại x = 0, tao có:

$\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}\sqrt{x}=0$

$\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}(2x-1)$

$=-1$

Ta thấy: $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}f(x)=f(0)\neq \underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim}f(x)$, suy đi ra hàm số bị con gián đoạn bên trên x=0.

Kết luận: hàm số đang được mang đến ko liên tiếp bên trên tập luyện xác lập.

Đăng ký tức thì sẽ được những thầy cô tổ hợp kỹ năng và kiến thức và thi công quãng thời gian ôn ganh đua đảm bảo chất lượng nghiệp trung học phổ thông sớm kể từ bây giờ

1.3. Dạng 3: Tìm điểm con gián đoạn của hàm số f(x)

Điểm con gián đoạn của hàm số f(x) tức thị tồn bên trên 1 điều x₀ khiến cho hàm số f(x₀) ko liên tiếp.

Để giải được bài xích tập luyện dạng lần điểm con gián đoạn của hàm số f(x), tao thực hiện thứu tự bám theo công việc sau đây:

• Bước 1: Tìm độ quý hiếm f(x₀)

• Bước 2: Tính độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x), \underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x), \underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)$

• Bước 3: So sánh f(x₀) rồi rút đi ra Tóm lại. Nếu thỏa mãn: $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(x_{0})$ thì tao Tóm lại hàm số liên tiếp bên trên $\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=f(x_{0})$

Nếu $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)\neq f(x_{0})$ tao Tóm lại hàm số ko liên tiếp bên trên $x_{0}$.

• Bước 4: Kết luận bám theo đòi hỏi của đề bài xích.

Các em nằm trong VUIHOC xét 2 ví dụ tại đây nhằm hiểu rộng lớn về dạng bài xích tập luyện này nhé!

Ví dụ 1: Dùng khái niệm, xét tính liên tiếp của f(x) = x³ + 2x - 1 bên trên x₀ = 3.

Giải:

Ta có:  $f(x)=x^{3}+2x-1 \Rightarrow f(3)=3.3+2.3-1=32$
$\underset{x\rightarrow 3}{lim}(x^{3}+2x-1)=\underset{x\rightarrow 3}{lim}x^{3}+2.\underset{x\rightarrow 3}{lim}x-1=3^{3}+2.3-1=32$

$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 3}{lim}f(x)=f(3)$

Vậy, f(x) liên tiếp bên trên điểm x₀ = 3

Ví dụ 2: Xét tính liên tiếp của hàm số hắn = g(x) bên trên x0=2, biết:
$g(x)\left\{\begin{matrix}
\frac{x^{3}-8}{x-2},x\neq 2\\
5,x=2
\end{matrix}\right.$

Giải:

Ta sở hữu g(2)=5

$\underset{x\rightarrow 2}{lim}g(x)=\underset{x\rightarrow 2}{lim}\frac{x^{3}-8}{x-2}=\underset{x\rightarrow 2}{lim}\frac{(x-2)(x^{2}+2x+4)}{x-2}=\underset{x\rightarrow 2}{lim}(x^{2}+2x+4)=12$

$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 2}{lim}f(x)\neq g(2)$

Vậy, g(x) ko liên tiếp bên trên điểm x₀ = 2

1.4. Dạng 4: Tìm ĐK nhằm hàm số liên tiếp bên trên một điểm

Theo lý thuyết đã và đang được học tập, hàm số hắn = f(x) liên tiếp bên trên điểm $\Leftrightarrow \underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}=f(x_{0})$

Dựa bám theo khái niệm, nhằm lần ĐK vừa lòng hàm số liên tiếp bên trên 1 điều, tất cả chúng ta cần thiết tuân theo công việc sau đây:

• Bước 1: Xác toan coi hàm số đề bài xích sở hữu xác lập bên trên điểm x₀ đang được mang đến hay là không. Tính f(x₀).

• Bước 2: Tính số lượng giới hạn của hàm số bên trên điểm x = 1

• Bước 3: Hàm số f(x) liên tiếp bên trên điểm x₀, suy đi ra $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}=f(x_{0})$

• Bước 4: Kết luận độ quý hiếm của m.

Cùng xét ví dụ minh họa tại đây nhằm hiểu rộng lớn về dạng bài xích tập luyện này nhé!

Ví dụ 1: Tìm thông số m nhằm hàm số liên tiếp bên trên điểm x=1:

$f(x)\left\{\begin{matrix}
\frac{2-7x+5x^{2}}{x^{2-3x+2}} và Khi \, x \neq 1\\ 
-3mx-1 và Khi \, x = 1
\end{matrix}\right.$

Giải: 

Ta thấy hàm số đang được xác lập bên trên x = 1, f(1) = -3m.1-1.

Tính số lượng giới hạn của hàm số bên trên điểm x = 1:

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2-7x+5x^{2}}{x^{2}-3x+2}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{(x-1)(5x-2)}{(x-1)(x-2)}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{5x-2}{x-2}=-3$

Ta sở hữu, hàm số f(x) liên tiếp bên trên x0=1 khi: 

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=f(1)\Leftrightarrow -3m-1=3\Leftrightarrow m=\frac{-2}{3}$

Kết luận: m = -3

Ví dụ 2: 

Giải:

Hàm số đang được mang đến liên tiếp bên trên điểm x = 1, suy đi ra $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x) = f(1) = m$

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2x^{3}+ax^{2}-4x+b}{(x-1)^{2}}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2x(x-1)^{2}+(a+4)x^{2}-6x+b}{(x-1)^{2}}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}[2x+\frac{(a+4)x^{2}-6x+b}{(x-1)^{2}}]$

=$2+\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{(a+4)x^{2}-6x+b}{(x-1)^{2}}$

Vì $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)$ sở hữu tồn bên trên nên $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{(a+4)x^{2}-6x+b}{(x-1)^{2}}$ tồn bên trên (a + 4)x² - 6x + b = 0, nhận x = một là nghiệm kép.

Do vậy, phối hợp $x_{0}=\frac{6}{2(a+4)}=1$ và $\Delta=9-(a+4)b=0$ tao được a = -1; b = 3

Suy ra: $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=2+3=5\Rightarrow m=5$

Vậy, đáp án hãy chọn là B.

1.5. Dạng 5: Tìm ĐK nhằm hàm số liên tiếp bên trên một khoảng chừng, đoạn hoặc tập luyện xác định

Để giải dạng bài xích tập luyện xét tính liên tiếp của hàm số bên trên khoảng chừng đoạn hoặc tập luyện xác lập, tao cần dùng ĐK nhằm hàm số liên tiếp kết phù hợp với ĐK nhằm phương trình sở hữu nghiệm.

• Điều khiếu nại nhằm hàm số liên tiếp bên trên x₀: $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(x_{0})$

• Điều khiếu nại nhằm hàm số liên tiếp bên trên tập luyện D này là f(x) cần liên tiếp bên trên từng điểm nằm trong D.

• Phương trình f(x) = 0 sở hữu tối thiểu một nghiệm bên trên tập luyện D Khi hàm số hắn = f(x) liên tiếp bên trên D, sở hữu nhì số a,b nằm trong D sao mang đến f(a).f(b) < 0.

• Phương trình f(x)= 0 sở hữu k nghiệm bên trên tập luyện D Khi hàm số f(x) liên tiếp bên trên D và tồn bên trên k rời nhau (a_i;a_i+1) (i=1,2,...,k) ở trong tập luyện D vừa lòng f_(ai).f_(ai+1) < 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xác toan a nhằm hàm số tại đây liên tiếp bên trên tập luyện R

$f(x)\left\{\begin{matrix}
\frac{a^{2}(x-2)}{\sqrt{x+2}-2} và Khi \, x <2\\ 
(1-a)x và Khi \, x\geq 2
\end{matrix}\right.$

Giải:

Hàm số f(x) xác lập bên trên R

• x < 2 thì hàm số liên tục

• x > 2 thì hàm số liên tục

• x = 2, tao có:

$\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}(1-a)x=(1-a)2=f(2)$

$\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}\frac{a^{2}(x-2)}{\sqrt{x+2}-2}=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}a^{2}(\sqrt{x+2}+2)=4a^{2}$

Như vậy, hàm số liên tiếp bên trên R $\Rightarrow$ Hàm số liên tiếp bên trên x = 2.

$\Leftrightarrow \underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}f(x)$

$\Leftrightarrow 4a^{2} =(1-a)2$

$\Leftrightarrow a=-1, a=0.5$

Vậy a nhận 2 độ quý hiếm là a = -1, a = 0.5

Ví dụ 2: Tìm độ quý hiếm m nhằm hàm số tại đây liên tiếp bên trên tập luyện R:

$f(x)\left\{\begin{matrix}
\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} và Khi \, x >0\\ 
2x^{2}+3m+1 và Khi \, x\leq 0
\end{matrix}\right.$

Giải: 

Với x < 0: hàm số liên tục

Với x > 0: hàm số liên tục

Với x = 0, tao có:

$\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}(x)=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{x+1-1}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{1}{(\sqrt{x+1}+1)}=\frac{1}{2}$

$\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim}f(x)=x0-(2x2+3m+1)=3m+1=f(0)$

Vậy, hàm số bên trên liên tiếp bên trên R => hàm số f(x) liên tiếp bên trên x = 0

$\Leftrightarrow \underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim}f(x)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}=3m+1$

$\Leftrightarrow m=\frac{-1}{6}$

Kết luận: Giá trị m cần thiết lần là $m=\frac{-1}{6}$

1.6. Dạng 6: Ứng dụng hàm số liên tiếp nhằm minh chứng phương trình sở hữu nghiệm

Để minh chứng được phương trình sở hữu nghiệm vận dụng tính liên tiếp của hàm số, tao cần thiết tổ chức bám theo công việc sau đây:

• Bước 1: Biến thay đổi phương trình đề bài xích mang đến trở nên dạng f(x) = 0

• Bước 2: Tìm độ quý hiếm 2 số a và b (a < b) vừa lòng ĐK f(a).f(b) < 0

• Bước 3: Chứng minh nhằm hàm số f(x) liên tiếp bên trên [a;b]. Từ tê liệt tao suy đi ra được phương trình f(x) = 0 sở hữu tối thiểu 1 nghiệm nằm trong đoạn (a;b).

Ta nằm trong xét những ví dụ sau nhằm hiểu rộng lớn về phong thái phần mềm hàm số liên tiếp minh chứng phương trình sở hữu nghiệm.

Ví dụ 1: Chứng minh phương trình 4x³ - 8x² + 1= 0 sở hữu nghiệm nằm trong (-1;2)

Giải:

Ta có:

f(x) = 4x³ - 8x² + 1 liên tiếp bên trên tập luyện R.

$\Rightarrow f(-1)=-11, f(2)=1\Rightarrow (-1).f(2)<0$

Theo đặc điểm hàm số liên tiếp, phương trình đề bài xích sở hữu tối thiểu 1 nghiệm nằm trong (-1;2).

Ví dụ 2: Chứng minh 4x⁴ + 2x² - x - 3 = 0 sở hữu tối thiểu 2 nghiệm trong tầm (-1;1)

Giải:

Xét f(x) = 4x⁴ + 2x² - x - 3 suy đi ra f(x) liên tiếp bên trên R.

Ta có:

f(-1) = 4 + 2 + 1 - 3 = 4

f(0) = -3

f(1) = 2

Do f(-1).f(0) < 0 nên phương trình sở hữu nghiệm nhập (-1;0)

Do f(1).f(0) < 0 nên phương trình sở hữu nghiệm nhập (0;1)

Vì 2 khoảng chừng (-1;0) và (0;1) ko phú nhau, nên phương trình đề bài xích sở hữu tối thiểu 2 nghiệm nằm trong khoảng chừng (-1;1).

2. Bài tập luyện áp dụng về tính chất liên tiếp của hàm số

Dưới đấy là 10 bài xích tập luyện trắc nghiệm áp dụng tính liên tiếp của hàm số giành riêng cho những em học viên rèn luyện hằng ngày. Cùng lưu về xem thêm nhé!

Bài 1: Cho hàm số:

$f(x)\left\{\begin{matrix}
a^{2}x^{2} , x\leq \sqrt{2},a\epsilon R\\
(2-a)x^{2},x> \sqrt{2}
\end{matrix}\right.$

Giá trị của a nhằm f(x) liên tiếp bên trên R là:

A. 1 và 2    B. 1 và -1    C. -1 và 2    D. 1 và -2

Giải chi tiết:

Bài 2: Cho hàm số

Đáp án: B

Bài 3: Cho hàm số:

Giải chi tiết:

Hàm số liên tiếp bên trên x khi: $\underset{x\rightarrow 0}{lim}f(x)=f(0) \Leftrightarrow a+2=1\Leftrightarrow a=-1$

Chọn đáp án B.

Bài 4: Cho hàm số:

Giải chi tiết:

Bài 5: Cho hàm số:

Giải chi tiết: 

Chọn đáp án B vì như thế x = 2 ko nằm trong với tập luyện xác lập của f(x).

Bài 6: Khẳng toan nào là trúng trong những xác định bên dưới đây:

Đáp án A.

Bài 7: Khẳng toan nào là bên dưới đấy là xác định đúng?

Đáp án: B

Bài 8: Cho hàm số:

Đáp án B.

Bài 9: Cho hàm số:

Giải chi tiết:

Bài 10: Cho hàm số:

Giải chi tiết:

Đăng ký tức thì nhằm nhận đầy đủ cỗ kỹ năng và kiến thức và những dạng bài xích tương quan cho tới tính liên tiếp của hàm số

Trên đấy là toàn cỗ 6 phương pháp xét tính liên tiếp của hàm số thuộc chương trìnhToán 11 sở hữu kèm cặp ví dụ minh họa và cỗ bài xích tập luyện rèn luyện hằng ngày. Hy vọng rằng sau nội dung bài viết này, những em học viên tiếp tục học tập thêm thắt được những khả năng nhằm xử lý dạng toán này dễ dàng và đơn giản rộng lớn. Hãy truy vấn trang web dạy dỗ Vuihoc.vn hoặc trung tâm tương hỗ nhằm học tập thêm thắt nhiều kỹ năng và kiến thức toán trung học phổ thông nhằm mục đích sẵn sàng hành trang mang đến kỳ ganh đua trung học phổ thông Quốc gia tiếp đây nhé!

     Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết